Buschman-Erdélyi 变换近期结果简述

本文发表于《不等式与特殊函数杂志》献给 Ivan Dimovski 教授的特刊，以表彰他在数学不同领域的贡献：变换理论、特殊函数、积分变换、函数论等。这篇简短的综述文章包含了关于 Buschman-Erdélyi 变换理论及其某些应用的历史简述、主要已知事实和作者的原创结果。Buschman-Erdélyi 型算子最初由 E.T. Copson、R.G. Buschman 和 A. Erdélyi 作为积分算子进行研究。在 1990 年代，作者首次证明了这些算子的变换性质，并发表了详细研究其性质的论文。这一类算子作为特例包含了诸如 Sonine-Poisson-Delsarte 变换和分数阶 Riemann-Liouville 积分等著名对象。在本文中，Buschman-Erdélyi 变换被逻辑地分类为：具有零阶光滑算子特例的第一类算子、第二类算子，以及具有酉 Sonine-Katrakhov 和 Poisson-Katrakhov 变换特例的第三类算子。我们研究了诸如变换条件、因式分解、范数估计、与经典积分变换的联系等性质。考虑了在奇异偏微分方程、具有精确常数的 Kipriyanov 空间嵌入定理、包含 Copson 引理的 Euler-Poisson-Darboux 方程、广义平移、Dunkl 算子、Radon 变换、广义调和理论、Hardy 算子、V. Katrakhov 关于伪微分算子的结果，以及针对椭圆型偏微分方程在孤立奇点处具有任意增长解的新型边值问题等方面的应用。