与余维2曲面傅里叶限制相关的受限2-平面变换

我们建立了P. Gressman构造的仿射不变曲面测度与一类关联于余维2曲面、且与该曲面的傅里叶限制问题相关的几何平均算子的有界性之间的联系。对由$(\xi, Q_1(\xi), Q_2(\xi))$给出的曲面，其中$Q_1,Q_2$是$\mathbb{R}^d$上的二次型，所讨论的特定算子是限制于曲面法向的2-平面变换，即$$\mathcal{T}f(x,\xi) := \iint_{|s|,|t| \leq 1} f(x - s \nabla Q_1(\xi) - t \nabla Q_2(\xi), s, t)\,ds\,dt,$$其中$x,\xi \in \mathbb{R}^d$。我们表明，当曲面在Gressman意义下良弯曲（即关联仿射不变曲面测度不消失）时，该算子在$p,q$直至临界点满足尖锐的$L^p \to L^q$不等式。我们也表明良弯曲假设对获得完整估计范围是必要的。证明依赖两个主要要素：用几何不变论技术得到的以多项式$\det(s \nabla^2 Q_1 + t \nabla^2 Q_2)$性质刻画的良弯曲性，以及Christ的精化方法。借助后者，问题被归约为一个亚水平集估计，其由线性规划论证证明。