关于椭圆卷轴与双椭圆曲面几何的注释

两个五次椭圆卷轴在 $\mathbb{P}^4$ 中�着交于椭圆正常五次曲线，其联合是一个奇异曲面 $Z$，在数值上类似于双椭圆曲面。在论文 [W. Decker 等：$\mathbb{P}^4$ 中阿贝尔与双椭圆曲面的 syzygies, alg-geom/9606013] 的附录中，我们证明了 $Z$ 在适当 Hilbert 方案中的相应点为光滑点，且 $Z$ 不能在 $\mathbb{P}^4$ 中平滑化。这里我们考察更高维射影空间 $\mathbb{P}^{n-1}$ 中的类似情况，令人惊讶的是，答案取决于维数 $n-1$。若 $n$ 为奇数，则两个卷轴的联合不能平滑化；若 $n$ 为偶数，则可以平滑化。我们构造了一个显式的平滑化。