椭圆曲线4-覆盖的可见性

设$C$为椭圆曲线$E$的一个$4$-覆盖，写作$\mathbb{P}^3$中的二次曲面交。设$E'$为另一条具有与$E$同构的$4$-挠元的椭圆曲线。我们展示了如何写出$E'$的$4$-覆盖$C'$，使得$C$与$C'$由$4$-挠元上的同一上同调类表示。实际上，我们给出了$C'$作为$\mathbb{P}^5$中$8$次曲线的方程。我们还研究了当变化$E'$时由曲线$C'$所纤维化的K3-曲面。特别地，我们展示了如何将这些曲面写为$\mathbb{P}^5$中恰有$16$个奇点的二次曲面完全交的模型。这使我们能够给出定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的例子，其Tate-Shafarevich群中有阶为$4$的元素在主要极化阿贝尔曲面中不可见。