基于随机聚合物方法的顶点加强跳跃过程弱无序相分析

本文研究了维数 $d\geq 3$ 下顶点加强跳跃过程（VRJP）的瞬时相。在 Sabot, Zeng (2019) 中，作者们引入了一个正鞅并指出 VRJP 当且仅当该鞅收敛至 $0$ 时是 recurrent 的。在 $\mathbb{Z}^d$ 上，$d\ge 3$，且具有常数导电性 $W$，可证明存在临界值 $0<W_c(\mathbb{Z}^d)<\infty$，使得当 $W<W_c(\mathbb{Z}^d)$ 时鞅收敛至 $0$，或当 $W>W_c(\mathbb{Z}^d)$ 时鞅收敛至正极限。在 $\mathbb{Z}^d$ 上，VRJP 鞅可解释为具有特定 $1$-dependent 随机势的非定向聚合物的配分函数。本文聚焦于 VRJP 鞅的 $L^p$ 可积性问题，这与 VRJP 的 (扩散) 行为密切相关。首先，借鉴 Junk (2022) 关于 $\mathbb{Z}^{1+d}$ 中定向聚合物的工作，我们证明在 $\mathbb{Z}^d$ 的半空间 $\mathbb{H}_d$ 上，对于所有 $W>W_c(\mathbb{H}_d)$，存在某个 $\delta>0$ 使得 VRJP 鞅属于 $L^{1+\delta}$。其次，我们证明在维数 $d\geq 4$ 时，VRJP 鞅在临界“ slab 点”之上的所有 $p>1$ 情形下都属于 $L^{p}$，其中 $W_c^{\mathrm{slab}} (\mathbb{Z}^d) = \lim_{m\to\infty} W_c(\mathbb{Z}^{d-1} \times \{-m,\ldots,m\})$。我们还提出了一些相关猜想。