加权残差经验过程、鞅变换与高维回归的模型设定检验

本文在维度发散设定下，探讨回归模型中均值与方差函数参数形式的假设检验。为缓解维数灾难，我们引入基于加权残差经验过程的检验，含鞅变换与不含鞅变换者均有。这些检验的渐近性质由加权残差经验过程及其鞅变换在原假设与备择假设下的行为导出。所提不含鞅变换的检验以最快可能速率探测局部备择，具体为 $n^{-1/2}$ 阶，且不受维度影响；但此类检验并非渐近分布自由。为克服该局限，我们提出平滑残差自助法近似，并确立其在维度发散设定下的有效性。相反，含鞅变换的检验虽渐近分布自由，却呈现一意外局限：其仅能探测以远慢的 $n^{-1/4}$ 阶收敛于原假设的局部备择，且该阶数独立于维度。此发现揭示了基于加权残差经验过程而不含鞅变换的检验在功效上优于其鞅变换对应项的理论优势，挑战了现有基于鞅变换的渐近分布自由检验的传统认知。为验证方法，我们开展模拟研究并将所提检验应用于真实数据集，证实其实用有效性。