VRJP 与 ERRW 的单调性与相变

顶点增强跳跃过程（VRJP）由 Davis 和 Volkov 引入，是一个倾向于返回已访问顶点的连续时间过程。它与 Coppersmith 和 Diaconis 于 1986 年引入的边增强随机游动（ERRW）密切相关，后者更可能穿越其已穿越的边。在 $\mathbb{Z}^d$（$d\geq 3$）上，这两个模型均被证明在初始权重足够小时是常返的（由 Sabot、Tarrès(2015) 和 Angel、Crawford、Kozma(2014) 证明），而在初始权重足够大时是暂态的（由 Disertori、Sabot、Tarrès(2015) 和 Sabot、Tarrès(2015) 证明）。我们通过针对不同权重的 VRJP 的耦合，证明 VRJP（以及 ERRW）表现出某种单调性。特别地，我们证明增大 VRJP 和 ERRW 的初始权重会使它们更趋于暂态，这意味着常返/暂态相变必然是唯一的。此外，通过令权重趋于无穷，我们证明 ERRW 和 VRJP 的常返性可由确定性电阻网络中随机游动的常返性推出。