与无限图上顶点增强跳跃过程相关的随机薛定谔算子

本文研究顶点增强跳跃过程（VRJP）、边增强随机游走（ERRW）以及它们与随机薛定谔算子的联系。在无限图上，我们定义一个1-依赖随机势 $\beta$，推广了[20]中有限图上的定义，并考虑其关联的随机薛定谔算子 $H_\beta$。我们构造一个随机函数 $\psi$ 作为鞅的极限，使得当 VRJP 常返时 $\psi=0$，而当 VRJP 暂态时 $\psi$ 是随机薛定谔算子对应于特征值 $0$ 的正广义特征函数。然后我们证明了无限图上 VRJP 的一种表示，作为涉及函数 $\psi$、随机薛定谔算子的格林函数以及一个独立的 Gamma 随机变量的马尔可夫跳跃过程的混合。在 ${{\mathbb Z}}^d$ 上，由该表示我们推导出了 VRJP 和 ERRW 常返或暂态的零一律，以及维数 $d\ge 3$ 时弱增强下 VRJP 和 ERRW 的一个泛函中心极限定理，使用了[10,8]的估计。最后，我们推导出了维数 $d=2$ 时对于任意初始常权重的 ERRW 的常返性（使用 Merkl 和 Rolles 的估计[15,17]），从而完全回答了 Diaconis 的老问题。我们还提出了一些关于 VRJP 的常返/暂态与随机薛定谔算子 $H_\beta$ 的局域化/退局域化之间联系的问题。