解析情形下的Norton-Sullivan问题

1996年，A. Norton和D. Sullivan提出了以下问题：若$f:\mathbb{T}^2\rightarrow\mathbb{T}^2$是微分同胚，$h:\mathbb{T}^2\rightarrow\mathbb{T}^2$是同伦于恒等映射的连续映射，且$h f=T_{\rho} h$，其中$\rho\in\mathbb{R}^2$是完全无理向量，$T_{\rho}:\mathbb{T}^2\rightarrow\mathbb{T}^2,\, z\mapsto z+\rho$是平移，是否存在自然的几何条件（如光滑性）加于$f$上迫使$h$成为同胚？在[ J. Wang and Z. Zhang, GAFA 2018 ]中，第一作者与Z. Zhang在$C^{\infty}$范畴下对上述问题给出否定回答：一般而言，即使是无穷光滑性条件也不能迫使$h$成为同胚。在本文中，我们在$C^{\omega}$范畴下给出否定回答：我们构造了一个$\mathbb{T}^2$上的实解析保守且极小的完全无理伪旋转，它半共轭于一个平移但不共轭于平移，同时回答了[ J. Wang and Z. Zhang, GAFA 2018 ]中提出的问题。