同胚类的共轭类与同胚群中的扭曲元

设$S$为一个紧致连通曲面，$f$为与恒等映射同伦的$S$的同胚群$\text{Homeo}_0(S)$中的一个元素。记$\tilde{f}$为$f$提升到$S$万有覆盖上的提升。固定该万有覆盖的一个基本域$D$。如果序列$(d_{n}/n)$收敛于 0（其中$d_{n}$是$\tilde{f}^{n}(D)$的直径），则称同胚$f$为非扩散的。现在假设曲面$S$是可定向的且具有非空边界。我们证明，如果$S$不同于圆环和圆盘，则一个同胚是非扩散的当且仅当它在$\text{Homeo}_{0}(S)$中存在任意接近恒等映射的共轭元。在曲面$S$为圆环的情况下，我们证明一个同胚是非扩散的当且仅当它在$\text{Homeo}_{0}(S)$中存在任意接近旋转的共轭元（这在大多数情况下已由 B{\'e}guin、Crovisier、Le Roux 和 Patou 的定理得知）。由此我们得出，对于此类曲面$S$，$\text{Homeo}_{0}(S)$中的一个元素是扭曲的当且仅当它是非扩散的。