环面遍历性与环形同胚

设 $f: \mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2$ 为同伦于恒等映射的同胚，$F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 为 $f$ 的提升，且其旋转集 $\rho(F)$ 为包含 $\mathbb{Q}^2$ 中一点的有理斜率线段。我们证明：若 $f$ 关于环面上的 Lebesgue 测度是遍历的，且平均旋转向量（关于同一测度）不属于 $\mathbb{Q}^2$，则 $f$ 的某次幂为环形同胚。