连续哈密顿动力学与 $D^2$ 的保面积同胚群

本文的主要目的是提出一个证明二维圆盘 $D^2$ 的保面积同胚群 $Homeo^\Omega(D^2,\partial D^2)$ 非单性的方案。我们首先在哈密顿同胚范畴中建立 Alexander 同痕的存在性。这将著名的 Calabi 同态 ${\rm Cal}:Diff^\Omega(D^1,\partial D^2) \to \mathbb R$ 能否延拓为同态 $\overline{{\rm Cal}}:Hameo(D^2,\partial D^2) \to \mathbb R$ 的问题，归结为基本相位函数 $f_{\underline{\mathbb F}}$ 的消失性问题；该函数是作者此前构造的一个 Floer 理论图选择器，与拓扑哈密顿圈的图及其通过自然嵌入 $D^2 \hookrightarrow S^2$ 获得的 $S^2$ 上的归一化哈密顿量 $\underline{F}$ 相关联。此处 $Hameo(D^2,\partial D^2)$ 是由 M"uller 和作者引入的哈密顿同胚群。随后，我们通过研究与相关的 Hamilton-Jacobi 方程，证明了针对 $D^2$ 上一类特殊的\emph{弱图形}拓扑哈密顿圈的猜想，从而为该消失性猜想提供了证据。