哈密顿同胚群与 $C^0$ 辛拓扑

本文的主要目的是对 $C^0$-哈密顿几何与 $C^0$-辛拓扑进行一些基础性研究。我们在哈密顿路径空间以及哈密顿微分同胚群上引入强与弱{\it 哈密顿拓扑}的概念。然后我们定义{\it 哈密顿同胚}的{\it 群} $Hameo(M,\omega)$ 与空间 $Hameo^w(M,\omega)$，使得 $$Ham(M,\omega) \subsetneq Hameo(M,\omega) \subset Hameo^w(M,\omega) \subset Sympeo(M,\omega)$$ 其中 $Sympeo(M,\omega)$ 是辛同胚群。我们证明 $Hameo(M,\omega)$ 是 $Sympeo(M,\omega)$ 的{\it 正规子群}，并包含所有 $C^{1,1}$-函数的哈密顿向量场的时间一键映射。我们证明 $Hameo(M,\omega)$ 是道路连通的，因此包含于 $Sympeo(M,\omega)$ 的单位连通分支 $Sympeo_0(M,\omega)$ 中。在可定向曲面的情形，我们证明 $Hameo(M,\omega)$ 中任一元素的{\it 质量流}为零，这进而表明当 $M \neq S^2$ 时 $Hameo(M,\omega)$ 严格小于保面积同胚群的单位连通分支。对于 $S^2$ 的情形，我们猜想 $Hameo(S^2,\omega)$ 仍是 $Homeo^\omega_0(S^2) = Sympeo_0(S^2,\omega)$ 的真子群。