二维Toda可积系统的 $(q,t)$-形变

通过将底层对称代数 $\mathfrak{gl}(\infty)\simeq \text{q-W}_{1+\infty}$ 提升为量子环面 $\mathfrak{gl}(1)$ 代数，引入了二维Toda可积系统的 $(q,t)$-形变。该系统的差分-微分方程由 $(q,t)$-双线性恒等式展开得到，并由此发现了两条精化二维Toda方程的方程。双线性恒等式的推导源于量子环面 $\mathfrak{gl}(1)$ 代数的水平 $(2,0)$ Fock表示与q形变Virasoro代数和 $u(1)$ Heisenberg代数的张量积之间的同构。它导致将 $(q,t)$-形变Casimir识别为形变Virasoro代数的屏蔽电荷。由于非平凡余积，该系统的方程不再涉及单一tau函数，而是关联一组不同的tau函数。我们随后利用量子环面 $\mathfrak{gl}(1)$ 代数的 $L$-矩阵定义普适精化tau函数，并将其解释为形变tau函数的生成函数。用普适精化tau函数写出的系统方程合并为类似于 $RLL$ 方程的两项二次方程。