关于 $q$-差分二维 Toda 格方程、$q$-差分 sine-Gordon 方程及其可积性的洞察
可精确求解与可积系统
2022-03-01 v1
摘要
在我们先前的工作 \cite{LNS} 中，我们通过 Darboux 变换构造了非交换 -差分二维 Toda 格（-2DTL）方程的拟 Casoratian 解，可证明其在交换情形下给出了由 Hirota 双线性方法得到的双线性 -2DTL 方程的已有 Casoratian 解。事实上，人们不仅可以通过孤子方程的 Darboux 变换和二元 Darboux 变换构造孤子方程的解，也可构造其相应 Bcklund 变换的解。更具体地说，由孤子方程的 Darboux 变换和二元 Darboux 变换迭代产生的本征函数，分别给出了其 Bcklund 变换的行列式解。这揭示了 Darboux 变换与 Hirota 双线性方法之间的深刻联系。本文将在 -2DTL 方程的情形下阐述该观点。首先，我们导出广义双线性 Bcklund 变换，从而得到双线性 -2DTL 方程的广义 Lax 对。然后我们成功构造了 -2DTL 方程的二元 Darboux 变换，并基于此建立了用量子积分表示的 Grammian 解，分别用于双线性 -2DTL 方程及其双线性 Bcklund 变换。最后，通过对 -2DTL 方程相应结果施加 2-周期约化，我们导出了 -差分 sine-Gordon 方程、修正的 -差分 sine-Gordon 方程，并获得了它们相应的解。
引用
@article{arxiv.2202.13077,
title = {An insight into the $q$-difference two-dimensional Toda lattice equation, $q$-difference sine-Gordon equation and their integrability},
author = {C. X. Li and H. Y. Wang and Y. Q. Yao and S. F. Shen},
journal= {arXiv preprint arXiv:2202.13077},
year = {2022}
}