一类亚椭圆 Kolmogorov 方程的偏傅里叶变换方法

我们考虑 $n+1$ 个空间维度上的亚椭圆 Kolmogorov 方程，其中 $n\geq 1$，方程中前 $n$ 个空间变量上的微分算子是二阶椭圆的，而关于第 $(n+1)$ 个空间变量方程仅含纯输运项，因此是一阶双曲的。若前 $n$ 个与第 $(n+1)$ 个坐标方向上的两个微分算子不对易，则我们可受益于时间上的亚椭圆正则化，且即便在 $t=0$ 给定 Dirac 初始数据，对于 $t>0$ 的解也是光滑的。我们特别研究系数仅依赖于前 $n$ 个变量的情形。此时，可对最后一个变量作傅里叶变换，并对其他变量采用标准中心有限差分逼近以进行数值求解。我们证明了对于 Kolmogorov 提出的模型亚椭圆方程 $\frac{\partial u}{\partial t} + x \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ 在初始条件 $u(x,y,0) = \delta (x) \delta (y)$ 下，其中 $(x,y) \in \mathbb{R} \times\mathbb{R}$ 且 $t>0$，以及对于 $n=2$ 的推广情形，关于空间网格尺寸具有二阶收敛性。我们还展示了基于梯形法则的逆傅里叶变换逼近的指数收敛性。最后，我们将该方法应用于数学金融中出现的一个偏微分方程，该方程刻画了在错误设定的衍生品定价模型下对冲误差的分布。