关于若干非局部边界条件及其在 Beltrami 场中应用的注记

我们考虑两个希尔伯特空间之间的算子 $A_{0},B_{0}$ 满足 $A_{0}\subseteq-B_{0}^{\ast}$ 与 $B_{0}\subseteq-A_{0}^{\ast}$,并考察 $A_{0}$ 与 $B_{0}$ 的扩张 $A^{\#}$ 和 $B^{\#}$,其定义域由满足抽象周期边界条件的那些元素组成。其动机例子是某区间上的导数,此处所定义的实现给出具周期边界条件的经典导数。我们导出算子等式 $A^{\#}=-\left(B^{\#}\right)^{\ast}$ 成立的充要条件,并通过经典向量分析算子 $\mathrm{grad},\,\mathrm{div}$ 与 $\mathrm{curl}$ 的应用来说明我们的结论。特别地,实现 $\mathrm{curl}^{\#}$ 自然出现在所谓 Beltrami 场的研究中。