将局部边界条件纳入非局部理论

我们研究了有界域上来自近场动力学 (peridynamics) 领域的非局部方程。在我们的 companion 论文中，我们发现，在 $\mathbb{R}^n$ 上，近场动力学中的控制算子（涉及卷积）是经典（局部）控制算子的有界函数。在此基础上，我们在有界域上定义了一个抽象卷积算子。该抽象卷积算子是经典算子的函数，由后者纯离散谱所对应的 Hilbert 基定义。作为非局部方程的控制算子，我们使用经典算子的函数，这使我们能够将局部边界条件纳入非局部理论中。对于具有所考虑边界条件的齐次波动方程，我们证明了时间演化保持了连续性。我们给出了具有周期性、反周期性、Neumann 和 Dirichlet 等显著边界条件的初值问题的显式解表达式。为了与标准卷积建立联系，我们给出了抽象卷积算子的积分表示。我们提出了基于周期性和反周期性边界条件的额外“简单”卷积，它们导出了 Neumann 和 Dirichlet 边界条件。我们对波动方程的解进行了数值研究。对于离散化，我们采用基于 Galerkin 投影的弱形式，并在每个单元上使用分段多项式，这允许近似解在单元边界处不连续。我们研究了解关于多项式阶数的收敛阶，并观察到了最优收敛。我们描绘了每种边界条件下的解。