关于稳态 Navier-Stokes 方程轴对称 D-解最优衰减率的一个注记

本文研究了 $\mathbb{R}^3$ 中稳态不可压缩 Navier-Stokes 方程组轴对称 D-解的衰减性质。对于无旋轴对称流，我们获得了最优衰减率 $|{\bf u}(x)|\leq \frac{C}{|x|+1}$。此外，我们发现旋度分量 $u_{\theta}$ 的衰减率存在二象性，即要么 $O(\frac{1}{r+1})\leq |u_{\theta}(r,z)|\leq \frac{C\log(r+1)}{(r+1)^{1/2}}$，要么 $|u_{\theta}(r,z)|\leq \frac{C r}{(\rho+1)^3}$，其中 $\rho=\sqrt{r^2+z^2}$。在后一种情形下，我们可以进一步推导出速度场的另外两个分量也达到最优衰减率：$|u_r(r,z)|+ |u_{z}(r,z)|\leq \frac{C}{\rho+1}$。我们不需要对 forcing term 做任何小量假设。