关于二分图单侧区间边着色的一个注记

对于具有部分 $X$ 和 $Y$ 的二分图 $G$，$X$-区间着色是用整数对 $G$ 的一种正常边着色，使得与 $X$ 中任意顶点关联的边上的颜色构成一个区间。记 $\chi'_{int}(G,X)$ 为使得 $G$ 具有使用 $k$ 种颜色的 $X$-区间着色的最小 $k$。作者与 Toft 猜想 [Discrete Mathematics 339 (2016), 2628--2639] 存在一个多项式 $P(x)$ 使得若 $G$ 的最大度至多为 $\Delta$，则 $\chi'_{int}(G,X) \leq P(\Delta)$。在这篇短注中，我们证明该猜想；事实上，我们证明一个三次多项式已足够。我们还推导出对于最大度较小的二分图关于 $\chi'_{int}(G,X)$ 的一些改进上界。