与 Becker-Döring 模型相关的 Fokker-Planck 方程的非局部问题

本文研究正实数轴上建模团簇成核与生长的 Fokker-Planck 方程。该方程的主要特征是驱动向量场与边界条件依赖于一个与系统过剩质量相关的非局部序参量。第一个主要结果涉及柯西问题的适定性与正则性。适定性基于不动点论证，正则性基于 Schauder 估计。最初的先验估计给出非局部序参量的 Hölder 正则性，并通过迭代论证加以改进。解的渐近行为依赖于某个由初值决定的序参量 $\rho$。系统根据由势与扩散系数确定的某个值 $\rho_s>0$ 表现出不同行为。当 $\rho \leq \rho_s$ 时，存在平衡解 $c^{\text{eq}}_{(\rho)}$。若 $\rho\le\rho_s$，解强收敛于 $c^{\text{eq}}_{(\rho)}$，而若 $\rho > \rho_s$，解弱收敛于 $c^{\text{eq}}_{(\rho_s)}$。过剩部分 $\rho - \rho_s$ 因越来越大团簇的形成而消失。在这方面，该模型行为类似于经典的 Becker-Döring 方程。系统具有一个自由能，沿演化严格递减，从而确立了长时间行为。在次临界情形 $\rho<\rho_s$ 下，基于合适的加权对数 Sobolev 不等式与插值估计的熵方法被用于获得趋于平衡解的显式收敛速率。所呈现模型与 Becker-Döring 模型的紧密联系由一组介于两者之间的离散 Fokker-Planck 型方程族阐明。该模型族具有梯度流结构，凸显了它们的共性。