处理单位根处 Izergin-Korepin 行列式的一种新方法

我考虑定义在 $n$ 乘 $n$ 正方形格子上的非均匀 6-顶点模型的配分函数。该函数依赖于分别附着于水平线和垂直线的 2n 个谱参数 $x_i$ 和 $y_i$。在域壁边界条件下，它由 Izergin-Korepin 行列式给出。对于 $q$ 为单位根，配分函数满足一个特殊的线性泛函方程。当交叉参数 $\eta=2\pi/3$ 时该方程特别好用。在此情形下它可用于解决与交替符号矩阵计数相关的一些问题。特别地，可以重现由 Mills、Robbins 和 Rumsey 发现并由 Zeilberger 证明的精炼 ASM 分布。此外，众所周知配分函数在 $\{x\}$ 中对称，在 $\{y\}$ 变量中亦对称。我发现，在 $\eta=2\pi/3$ 的情形下，配分函数在并集 $\{x\} \cup \{y\}$ 中对称！这一良好的对称性被用来寻找阶为 $n$ 的交替符号矩阵中其两个 '1' 位于矩阵边界固定位置的数目之间的关系。最后我推导出了给出“上下双精炼”ASM 分布的方程。