关于带密度约束的平均场博弈的一个建议

我们考虑平均场博弈中的一个典型问题：拥挤情形，即在确定性框架下，智能体优化的成本中包含对穿过高密度智能体区域的惩罚。已知该均衡问题等价于对一个包含密度的 $L^p$ 范数的全局泛函的优化。由此产生的问题是，能否将 $L^p$ 惩罚替换为 $L^\infty$ 约束以产生一个类似的模型，但最简单的方法并不能给出有意义的定义。考虑到近期关于人群运动的工作，其中密度约束 $\rho\leq 1$ 是通过将速度场投影到容许速度集（带有散度约束）来处理的，并引入了压力场，我们提出了一个定义，并写出了一个包含通常的 Hamilton-Jacobi 方程与连续性方程耦合的偏微分方程组。对于该系统，我们分析了一个例子并提出了一些开放问题。