三维流固交互中 PDE 模型适定性与数值逼近的混合变分形式

我们将展示关于某个模拟特定流固动力学的偏微分方程（PDE）系统的定性和数值结果。通过为其构造非标准半群生成元表示，建立了该 PDE 模型的适定性；该表示本质上是通过适当地消去压力来实现的。该耦合 PDE 模型涉及在三维区域 $\mathcal{O}$ 上演化的 Stokes 系统，该系统与可能在边界 $\mathcal{O}$ 的平坦部分 $\Omega$ 上演化的带有转动惯量参数 $\rho >0$ 的四阶板方程相耦合。在 $\Omega$ 上的耦合是通过 Stokes 系统流体变量的 Dirichlet 迹实现的——因此无滑移条件必然不发挥作用——以及通过压力的 Dirichlet 边界迹实现的，后者本质上充当该边界弹性部分上的强迫项。我们在此注意到，由于 Stokes 流体速度在 $\Omega$ 上不为零，压力变量无法通过经典的 Leray 投影算子消去；相反，压力被识别为某个椭圆边值问题的解。最终，该流固动力学的适定性是通过某种非标准变分（“inf-sup”）形式达到的。随后我们展示了适定性的构造性证明如何自然地产生某种混合有限元方法，用于对该流固动力学解进行数值逼近。