巴拿赫空间自反性的度量解释

我们在每个Schreier族$\mathcal{S}_\alpha$（$\alpha<\omega_1$）上定义两个度量$d_{1,\alpha}$和$d_{\infty,\alpha}$，并借此证明巴拿赫空间$X$自反性的如下度量刻画：$X$是自反的当且仅当存在$\alpha<\omega_1$，使得不存在映射$\Phi:\mathcal{S}_\alpha\to X$满足$$c d_{\infty,\alpha}(A,B)\le \|\Phi(A)-\Phi(B)\|\le C d_{1,\alpha}(A,B) \text{ 对所有 $A,B\in\mathcal{S}_\alpha$.}$$其次，对于可分自反巴拿赫空间$X$和某些可数序数$\alpha$，我们证明$\max(\text{ Sz}(X),\text{ Sz}(X^*))\le \alpha$当且仅当$({\mathcal S}_\alpha, d_{1,\alpha})$不双 Lipschitz 嵌入到$X$中。此处$\text{Sz}(Y)$表示巴拿赫空间$Y$的Szlenk指数。