C*-代数与粗几何中的 Mayer-Vietoris 谱序列

设 $A$ 为 C*-代数，是 C*-理想 $I_\beta \subseteq A$ 的任意和的范数闭包 $A = \overline{\sum_{\beta \in \alpha} I_\beta}$。我们构造一个同调谱序列，以所有有限非空指标集 $J \subseteq \alpha$ 对应的 $\bigcap_{j \in J} I_j$ 的 K-理论作为输入，并强收敛到 $A$ 的 K-理论。对于粗空间 $X$，Roe 代数 $\mathfrak C^* X$ 编码了大尺度性质。给定 $X$ 的一个粗可切除覆盖 $\{X_\beta\}_{\beta \in \alpha}$，我们将 $\mathfrak C^* X_\beta$ 重塑为谱序列的输入。由有限非空指标集 $J \subseteq \alpha$ 对应的 $\mathfrak C^*X \big( \bigcap_{j \in J} X_j \big)$ 的 K-理论，若 $\alpha$ 有限则我们计算 $\mathfrak C^* X$ 的 K-理论，若 $\alpha$ 无限则计算 $\mathfrak C^* X$ 的一个直极限 C*-理想的 K-理论。类似的谱序列存在于伪紧有限传播算子代数 $\mathfrak D^* X$ 中（其以 Roe 代数为 C*-理想），以及 $\mathfrak Q^* X = \mathfrak D^* X / \mathfrak C^* X$ 中。