界面重力波 Kakinuma 模型的数学分析：第二部分——作为浅水近似的合理性证明

我们考虑界面重力波运动的 Kakinuma 模型。Kakinuma 模型是针对近似拉格朗日量的欧拉-拉格朗日方程组，该近似拉格朗日量通过对完整模型拉格朗日量中的速度势进行近似得到。Kakinuma 模型的结构及其初值问题的适定性已在姊妹论文 [arXiv:2103.12392] 中分析。在本文中，我们证明 Kakinuma 模型是界面重力波完整模型的高阶浅水近似，在一致性意义下误差阶为 $O(\delta_1^{4N+2}+\delta_2^{4N+2})$，其中 $\delta_1$ 和 $\delta_2$ 为浅水参数，分别是上层与下层平均深度对典型水平波长的比值，$N$ 粗略而言是 Kakinuma 模型的大小，可取任意大的数。此外，在完整模型解存在且具有一致有界的假设下，通过给出 Kakinuma 模型解与完整模型解之间的误差估计，证明了 Kakinuma 模型的严格合理性。我们还提供了 Kakinuma 模型哈密顿量与完整模型哈密顿量之间的误差估计。