界面重力波 Kakinuma 模型的数学分析（第一部分：结构与适定性）

我们考虑一个我们命名为 Kakinuma 模型的界面重力波模型。众所周知，界面重力波的完整模型具有变分结构，其拉格朗日量是 Luke 表面重力波（即水波）拉格朗日量的推广。Kakinuma 模型是近似拉格朗日量的欧拉-拉格朗日方程组，这些近似拉格朗日量通过对完整模型拉格朗日量中的速度势进行近似得到。在本文中，我们首先分析 Kakinuma 模型的线性色散关系，并表明在浅水区域其色散曲线与完整模型高度吻合。然后我们分析围绕常状态的线性化方程并导出稳定性条件，该条件在较密的水位于较轻的水下方时对小初值成立。我们证明在稳定性条件、非空化假设以及内蕴相容性条件下，初值问题在 Sobolev 空间中事实上是时间局部适定的，尽管完整模型的初值问题没有任何稳定性域因而其在 Sobolev 空间中不适定。此外，表明 Kakinuma 模型具有哈密顿结构并拥有守恒量：质量、总能量，以及在平底情形下的动量。