局部二次的 Glimm 泛函与非线性双曲系统 Glimm 格式的尖锐收敛率

考虑一维空间中严格双曲的 $N\times N$ 拟线性系统的柯西问题 $$u_t+A(u) u_x=0,\qquad u(0,x)=\bar u(x), \eqno (1)$$ 其中 $u \mapsto A(u)$ 是一个光滑矩阵值映射，且初始数据 $\overline u$ 具有小全变差。我们研究由 Glimm 格式构造的 (1) 的近似解的收敛率，假设令 $\lambda_k(u)$, $r_k(u)$ 分别表示 $A(u)$ 的第 $k$ 个特征值和相应的特征向量，对于每个第 $k$ 个特征族，线性退化流形 $$\mathcal{M}_k \doteq \big\{u\in\Omega : \nabla\lambda_k(u)\cdot r_k(u)=0\big\}$$ 要么是整个空间，要么是空集，要么由有限个光滑的、$N-1$ 维的、连通的、且与特征向量场 $r_k$ 横截的流形组成。我们引入一个 Glimm 型泛函，它是 \cite{sie} 中定义的立方相互作用势与一个二次项之和，该二次项考虑了强度小于某个固定阈值参数的同一族波之间的相互作用。基于一种自适应的波追踪方法以及该泛函的减少量，我们得到了与满足经典 Lax 假设（特征族的真正非线性或线性退化）的双曲系统的 Glimm 近似解相同类型的误差估计。