一般守恒律系统的二次相互作用泛函

对于一维守恒律系统解的 Glimm 格式近似 $u_epsilon$ \begin{equation*} u_t + f(u)_x = 0, \qquad u(0,x) = u_0(x) \in \mathbb R^n, \end{equation*} 其中初始数据 $u_0$ 具有小的全变差，我们证明了一个二次（关于 $\mathrm{TV}(u_0)$）相互作用估计，该估计在文献中已被用于稳定性和收敛性结果。除了光滑性外，对流项 $f$ 的结构不作任何假设，并且该估计是真正非线性系统的 Glimm 型相互作用估计的自然推广。更准确地说，我们得到以下结果：\newline - 对简单波的相互作用估计的新分析；\newline - 解导数的 Lagrange 表示，即一个映射 $\mathtt x(t,w)$，它跟踪每个波 $w$ 从其产生到抵消的轨迹；\newline - 引入波对的特征区间与划分，表示两个波的共同历史；\item 一个新的泛函 $\mathfrak Q$，控制波速关于时间的变差。\newline 最后这个泛函是真正非线性系统的 Glimm 泛函的自然推广。主要结果是分布 $D_{tt} \mathtt x(t,w)$ 是一个测度，其总质量 $\leq \mathrm{const} \mathrm{TV}(u_0)^2$。