一维真正非线性严格双曲守恒律组的 SBV 正则性

我们证明，若 $t \mapsto u(t) \in \mathrm {BV}(\R)$ 是具有真正非线性特征场的 $N \times N$ 严格双曲守恒律组的熵解 $$u_t + f(u)_x = 0,$$ 则除可数个时刻 $\{t_n\}_{n \in \mathbb N}$ 外，函数 $u(t)$ 属于 $\mathrm {SBV}$，即其分布导数 $u_x$ 是没有 Cantor 部分的测度。证明基于将 $u_x(t)$ 分解为属于特征族的波 $$u(t) = \sum_{i=1}^N v_i(t) \tilde r_i(t), \quad v_i(t) \in \mathcal M(\R), \ \tilde r_i(t) \in \mathrm R^N,$$ 以及在由特征线界定的区域中测度 $v_i$ 的连续/跳跃部分的平衡。为此，引入了一个新的交互测度 $\mu_{i,\jump}$，用于控制测度 $v_i(t)$ 中原子的产生。证明的主要论点是：对于所有 $v_i$ 的 Cantor 部分不为 0 的时刻 $t$，要么 Glimm 泛函发生向下跳跃，要么存在波的抵消，要么测度 $\mu_{i,\mathrm{jump}}$ 为正。