非 Lipschitz 点与最短时间函数的 SBV 正则性

本文致力于研究在并不蕴含 $T$ 的 Lipschitz 连续性的可控性条件下，最短时间函数 $T$ 的奇异集的 Hausdorff 维数。我们首先考虑 $\mathbb{R}^N$ 中具有常数系数的法向线性控制系统。我们将 $T$ 非 Lipschitz 的点刻画为那些可以通过具有消失的最小化 Hamilton 量的最优轨迹（针对反向动力学）从原点到达的点。线性性允许对该集合（我们称之为 $\mathcal{S}$）进行显式表示。此外，我们证明 $\mathcal{S}$ 是 $\mathcal{H}^{N-1}$-可求 rectifiable 的且具有正的 $\mathcal{H}^{N-1}$-测度。其次，我们考虑一类满足二阶可控性条件的仿射控制平面非线性系统：我们以类似方式刻画原点邻域内的集合 $\mathcal{S}$，并证明 $\mathcal{S}$ 的 $\mathcal{H}^1$-可求 rectifiable 性以及 $\mathcal{H}^1(\mathcal{S})>0$。在这两种情况下，已知 $T$ 具有正 reach 的上图，因此是局部 $BV$ 函数（见 \cite{CMW,GK}）。由于 $DT$ 的 Cantor 部分必须集中在 $\mathcal{S}$ 中，我们的分析表明 $T$ 是 $SBV$ 的，即 $DT$ 的 Cantor 部分为零。我们的结果还意味着 $T$ 在一个 $\mathcal{H}^{N-1}$-可求 rectifiable 集之外局部属于 $\mathcal{C}^{1,1}$ 类。稍作修改，我们的结果也适用于多控制输入的情形。