具有 Hörmander 向量场的最短时间函数的正则性结果

在具有光滑边界的 $\mathbb{R}^n$ 的有界区域中，我们研究了与满足 Hörmandar 括号生成条件的光滑向量场族 $\{X_1,\ldots ,X_N\}$ 相关的程函方程 Dirichlet 问题的粘性解 $T$ 的正则性。由于特征边界点的存在，这种情况可能会出现奇异轨迹。我们将此类轨迹表征为解失去逐点 Lipschitz 连续性的所有点构成的闭集。然后我们证明，$T$ 的局部 Lipschitz 连续性、$T$ 的局部半凹性以及无奇异轨迹是等价的性质。最后，我们证明了当 $\{X_1,\ldots ,X_N\}$ 的特征集是辛流形时，最后一个条件得到满足。我们将结果应用于 Heisenberg 向量场和 Martinet 向量场。