关于最优退出时间问题值函数的结构

在本文中，我们研究了一个具有一般运行成本和终端成本以及具有内部球性质的目标 $\mathcal{S}\subset\mathbb{R}^d$ 的最优退出时间问题，该问题针对满足温和可控性假设的非线性控制系统。特别地，不需要在 $\mathcal{S}$ 的边界处满足 Petrov 条件，且值函数 $V$ 可能不是局部 Lipschitz 的。在这种弱化的设定下，我们首先利用传输的近端法向量建立了 $V$ 的近端（水平）上梯度的表示公式。这使我们能够获得 $V$ 上图的外部球条件，从而产生若干正则性性质。特别地，$V$ 几乎处处是二次可微的，且其奇点的 Hausdorff 维数不大于 $d-1/2$。此外，除了最优控制问题轨迹的最优性条件外，我们还将分析扩展到奇点的传播和值函数的可微性性质。还研究了奇点集的 Hausdorff 测度的上界，这意味着 $V$ 是一个特殊有界变差函数。