非线性波动方程的亚稳态：来自过渡态理论的见解

本文研究一维空间非线性波动方程的长时间动力学，$$u_{tt} - \delta^2 u_{xx} +V'(u) =0 \qquad x\in [0,1]$$ 其中 $\delta>0$ 为参数，$V(u)$ 为下有界且当 $|u|\to\infty$ 时至少以 $u^2$ 速度增长的势。该方程的无限能量解保持一个自然的 Gibbs 不变测度；当势为双阱时，例如 $V(u) = \tfrac14(1-u^2)^2$，存在某个 regime 使得系统相空间中的两个互不相交的小集合集中了该测度的大部分质量。这表明非线性波动方程的解在这些集合上可以是亚稳态的，即它们在其中停留很长时间，仅在它们之间极少转移。在此，我们通过过渡态理论 (TST) 精确计算平均频率来量化这一现象：初始条件取自其不变测度的非线性波动方程解跨越位于亚稳态集合之间的分界面的平均频率。数值结果表明，当参数 $\delta$ 足够小时，非线性波动方程的动力学关于 Gibbs 不变测度是遍历且快速混合的。在此 regime 下，非线性波动方程的动力学表现出与其随机对应物（在方程中加入随机噪声和阻尼项）中所观察到的并无本质不同的亚稳态行为。然而，对于较大的 $\delta$，动力学要么不再遍历，要么其混合时间变得大于 TST 频率的倒数，表明亚稳态集合之间的连续转移是相关的，且向马尔可夫链的粗粒化失败。