重新审视“热手”悖论

我们使用后向 Kolmogorov 方程方法来理解如下看似矛盾的特征：在重复公平抛硬币时，遇到不同固定长度的正面与反面序列的平均等待时间可能不同。对于长度为 2 的序列，直到序列 HH（正-正）出现的平均时间为 6，而序列 HT（正-反）的等待时间为 4。我们给出了长度为 3、4 和 5 的序列等待时间的完整结果；推广到更长序列是直接而（尽管更繁琐）的。我们还推导了矩生成函数，由此可求得特定序列平均等待时间的任意矩。最后，我们计算了连续 $2n$ 个正面的平均等待时间 $T_{2n\rm H}$ 以及 $n$ 个交替正反面（HT）的平均等待时间 $T_{n\rm(HT)}$。对于大 $n$，$T_{2n\rm H}\sim 3 T_{n\rm(HT)}$。因此，相同长度的不同的抛硬币序列可以具有非常不同的平均等待时间。