Herman协议猜想的广义解

Herman协议猜想指出，在由$N$个相同进程组成的环中（环持有若干令牌），Herman自稳定算法的期望时间$\mathbb{E}(\mathbf{T})$至多为$\frac{4}{27}N^{2}$。我们证明了该猜想在其标准无偏形式下以及针对离散进程的有偏形式下的成立性，并将结果扩展到令牌通过某些Lévy过程移动的进一步变体。此外，我们推导了对于所有$1\leq \alpha\leq (1-\varepsilon)^{-1}$（其中特定$\varepsilon>0$）的$\mathbb{E}(\alpha^{\mathbf{T}})$期望值的界。在一个可通过经验证明的优化结果正确的前提下，所有这些估计在初始状态为三个令牌在$N$进程环上等距分布时达到最大值。这种关系是两个期望$\mathbb{E}(\mathbf{T})$和$\mathbb{E}(\alpha^{\mathbf{T}})$均为概率$\mathbb{P}(\mathbf{T}\geq t)$的加权和这一事实的表征。