证明 Herman 协议猜想

Herman 自稳定算法提出于 25 年前，是一个被广泛研究的同步随机化协议，用于使一个由 $N$ 个进程组成、共同持有任意奇数个令牌的环达到仅剩单个令牌的稳定状态。确定最坏情况下的预期稳定时间是关于该协议的核心未解难题。已知存在常数 $h$，使得任何初始配置的预期稳定时间最多为 $h N^2$。十年前，McIver 和 Morgan 建立了 $h$ 的下界 $4/27 \approx 0.148$，该下界由三个等距令牌实现，并猜想这是 $h$ 的最优值。在过去十年中，一系列论文逐步降低了 $h$ 的上界，目前的记录（于 2014 年取得）约为 $0.156$。在本文中，我们证明了 McIver 和 Morgan 的猜想，并确立 $h = 4/27$ 确实是最优的。