近似稳定子秩的二次下界：一种概率方法

一个量子态的近似稳定子秩是该态在任何近似分解为稳定子态时所需的最少项数。Bravyi 和 Gosset 指出，所谓“魔法”态如 $|T\rangle^{\otimes n}$ 的近似稳定子秩（相差多项式因子）是以 Clifford 门和 $n$ 个 $T$ 门模拟任意量子线路所需经典操作数的上界。因此，该量的指数下界似乎不可避免。尽管有此直觉，使用多种技术的若干尝试未能给出 ${|T\rangle}^{\otimes n}$ 的“精确”秩（即精确生成该态的分解的最小大小）优于线性的下界。对于与量子线路模拟代价更现实相关的“近似”秩，此前已知的最好下界不超过 $\tilde \Omega(\sqrt n)$。本文对大范围的近似参数将近似秩的下界改进为 $\tilde \Omega (n^2)$。我们结果的一个直接推论是：存在多项式时间可计算函数，其在任何由 $\mathbb{F}_2$ 上二次型指数构成的分解中都需要超线性项数，从而解决了 [Wil18] 中的一个问题。我们的方法基于从 Haar 测度采样的量子态的近似秩的强下界、对用于从 Haar 测度采样的魔法态隐形传态协议的近似秩的逐步分析，以及 [LKS18] 中关于用 $T$ 门交换 Clifford 操作的一个结果。