稳定子秩、Barnes-Wall 格与魔法单调量

2024年，Kliuchnikov和Schönenbeck展示了Barnes-Wall格、稳定子态和Clifford操作之间的联系。在本工作中，我们研究了他们的结果，并将其与稳定子秩的下界问题联系起来。我们首次展示了稳定子保真度关于稳定子秩的定量下界，该下界重现了$\chi_{\delta}({|H\rangle^{\otimes n}})$的线性对数下界，即$|H\rangle^{\otimes n}$的近似稳定子秩。事实上，我们证明即使近似与$|H\rangle^{\otimes n}$之间的保真度呈指数级小，该下界仍然成立，这是该区间内目前最好的下界。接下来，我们为纯态定义了一种新的魔法单调量——Barnes-Wall范数及其对应的近似变体。我们将这些单调量上界由态制备的CS-count给出，也由稳定子秩给出。特别地，由CS-count给出的上界是紧的，因为我们展示了达到该界的状态。除此之外，我们给出了一个保真度放大算法，该算法在近似误差与稳定子秩之间提供了权衡。作为推论，它为我们提供了一种将近似稳定子分解组合成它们张量积的近似分解的方法。最后，我们给出了乘积态具有最大稳定子秩的存在性与稠密性的另一种初等证明，该结果最早由Lovitz和Steffan(2022)证明，他们使用了代数几何的结果。