通过序补充矩阵行列式计算 Poset 的欧几里得特征

给定有限 Poset $P$，其 zeta 矩阵 $\mathbf Z$ 编码了关于序结构的基本 incidence 信息。在本文中，我们引入并研究序补充矩阵 $\overline{\mathbf Z} = \mathbf J - \mathbf Z$，其中 $\mathbf J$ 为全 1 矩阵。我们证明了其特征多项式和行列式的闭式公式，表明 $\det(\overline{\mathbf Z}) = (-1)^n \tilde{\chi}(P)$，其中 $n = |P|$ 且 $\tilde{\chi}(P)$ 为 $P$ 的约化欧几里得特征。这提供了一种意想不到的简单线性代数表达式，用于计算 Poset 的欧几里得特征，补充了从序关系派生矩阵的现有行列式公式。