循环图独立复形的约化欧拉示性数

设 $G$ 为循环图 $C_n(S)$，其中 $S\subseteq\{ 1,\ldots,\left \lfloor\frac{n}{2}\right \rfloor\}$。我们研究了当 $n=p^k$（$p$ 为素数）以及 $n=2p^k$（$p$ 为奇素数）时，独立复形 $\Delta (G)$ 的约化欧拉示性数 $\tilde{\chi}$，证明在这两种情况下 $\tilde{\chi}$ 均不为零。我们还给出一个循环图的例子，其独立复形的 $\tilde{\chi}$ 等于 $0$，从而对 R. Hoshino 的问题给出否定回答。