不可分割 chores 的公平分配是否近似最优？

本文研究不可分割 chores 的分配问题，关注寻找近似高效的公平分配。我们将注意力从乘法近似转向加法近似。我们的研究结果有两个方面：（1）界定因公平性要求导致的最优社会成本的提升幅度；（2）呈现寻找具有最小社会成本的公平分配的近似难度。为量化这种提升，我们引入了公平性成本（cost of fairness, CoF）——一种区别于公平性价格（price of fairness, PoF）的新度量，用以衡量在最坏情况下的加法差异（而非PoF的比值），即在有无公平约束条件下，最优社会成本之间的差距。我们发现，CoF 在 chores 场景中比 PoF 更具信息量，因为 PoF 在所有 EQX（任意物品均等分配）、EQ1（仅一个物品均等分配）和 EF1（一个物品无妒恨）情形下均为无穷，而 CoF 分别为 n 和 1（其中 n 为代理人数量）。就不可近似性而言，我们呈现了详细的近似难度图景。我们证明，在加法近似因子为 n 时，寻找最优 EQX 分配对任何 n ≥ 2 的情况均为 NP-hard（其中 n 为代理人数量，成本函数归一化为1）。对于 EQ1 和 EF1，若加法因子为常数且 n ≥ 3，则问题为 NP-hard；当 n = 2 时，我们为 EQ1 和 EF1 设计了加法近似方案。