公平分配下福利最大化的可近似性全景

不可分物品的公平分配研究以公平方式将 $m$ 个物品分配给 $n$ 个智能体。尽管公平性在许多现实应用中是基本要求，但它常与（经济）效率相冲突。这引出了一个自然且重要的问题：我们如何在所有公平分配中识别出福利效率最高的分配？本文从计算复杂度的角度给出回答。具体而言，我们研究在两种广泛研究的公平性准则——任意物品无嫉妒（EFX）和单物品无嫉妒（EF1）——下最大化功利主义社会福利的问题。我们考察了归一化与非归一化估值，其中归一化估值要求每个智能体对所有物品的总效用相同。本文的主要贡献可概括如下：（i）我们勾勒了受公平分配约束的福利最大化的完整复杂度全景；以及（ii）我们给出了 EFX 和 EF1 的公平代价的有趣界。具体而言：（1）对于 $n=2$ 个智能体，我们开发了多项式时间近似方案（PTAS），并给出了 EFX 和 EF1 约束下的 NP 困难性结果；（2）对于 $n>2$ 个智能体，在 EFX 约束下，我们设计的算法对非归一化和归一化估值分别达到 $O(n)$ 和 $O(\sqrt{n})$ 的近似比。这些结果由渐近紧的不可近似性结果作为补充。我们也为 EF1 约束获得了类似结果；（3）当智能体数量为固定常数时，我们表明通过略微放宽公平性约束可在多项式时间内计算出最优解，而精确公平会导致强不可近似性；（4）此外，我们的结果意味着归一化估值下 EFX 的公平代价为 $\Theta(\sqrt{n})$，这是文献中未知的。