一种解耦合且保持结构的直接不连续 Galerkin 方法用于 Keller-Segel 模型

本文发展了一种新颖的数值方案来求解经典的 Keller-Segel (KS) 模型，同时保持其内在的数学结构并实现最优精度。该模型通过能量变分方法被重新表述为梯度流结构，从而揭示了系统固有的能量耗散动力学。基于此重新表述，我们构建了通过时间上的半隐式方法和空间上的直接不连续 Galerkin (DDG) 方法实现的结构保持离散化，从而得到稳定且高阶精确的近似。该方案具有若干理想属性：(i) 能量稳定性，确保离散自由能耗散；(ii) 单元密度质量的精确守恒；(iii) 数值单元密度的正性保持，通过精心设计的限制器实现；(iv) 最优收敛率，时间上为一阶精度，空间上对于次数为 $k$ 的多项式为 $(k+1)$ 阶精度。我们提供了严格的理论分析来论证这些属性。此外，进行了大量数值实验，包括表现出图案形成和近爆炸行为的基准问题，以验证理论结果并展示所提出方法的鲁棒性、效率和准确性。该方法为化学趋化模型及其他梯度流型系统的结构保持数值仿真提供了灵活可靠的框架。