一种收敛的随机标量辅助变量方法

我们讨论标量辅助变量方法的扩展，该方法最初由 Shen 等人（[Shen, Xu, Yang, J. Comput. Phys., 2018]）提出用于确定性梯度流的离散化。通过引入一个额外的标量辅助变量，该方法可导出线性格式，同时保持无条件稳定性。我们的扩展在该标量辅助变量演化的逼近中加入了高阶项，从而使其可应用于随机偏微分方程。以随机 Allen--Cahn 方程作为具有乘性噪声的非线性随机偏微分方程的原型，我们基于所扩充的标量辅助变量方法提出了一种无条件能量稳定、线性的全离散有限元格式。通过恢复离散能量估计并建立关于时间的 Nikolskii 估计，我们能够借助 Jakubowski 对 Skorokhod 定理的推广证明离散解收敛到路径唯一鞅解。将 Gyöngy--Krylov 关于概率收敛的刻画推广到拟波兰空间，最终给出了全离散解收敛到随机 Allen--Cahn 方程强解的结果。最后，我们给出了数值模拟，强调了该格式的实用性以及所引入扩充项的重要性。