基于 Ap\'ery 集合的 Geil-Matsumoto 界的闭式公式

Geil-Matsumoto 界（GM 界）约束了有限域上曲线上有理点数目，将其以任意曲线上点之 Weierstrass 半群的形式表示。对于一般数值半群，GM 界缺乏简单闭式表达式，这使得其计算具有挑战性。已为生成两个互素整数的数值半群情况获得闭式公式。在本文中，对于任意数值半群，我们提供以非零半族元素的 Ap\'ery 集合表示的 GM 界的闭式公式。当数值半群由连续整数 $n, n+1, \dots, n+t$ 生成且满足 $\lceil\textstyle\frac{n-1}{2}\rceil\leq t \leq n-1$ 时，我们获得该界的简单闭式公式。我们将这些结果用于获得代数曲线在有限域上有理点数的上界。在某些情况下，我们的界优于已知的有理点数目上界。