利用顶点激活类型刻画关灯游戏中恒可解树
组合数学
2024-09-09 v2
摘要
关灯游戏可在任意简单图 上进行。一种配置将 \emph{on} 或 \emph{off} 两种状态之一分配给每个顶点。对于给定的配置，游戏的目标是通过在顶点上施加按压模式将所有顶点变为 \emph{off}，其中每次按压会切换该顶点及其邻居的状态。若顶点的每种配置都是可解的，则称该图是恒可解的。我们引入一个称为顶点激活类型的概念，并利用该概念证明了关于树的若干刻画结果。我们证明了除星树外所有恒可解树都可视为其两个恒可解子树的联结图。我们将保持配置不变的零模式空间的维数称为图 的零度。我们证明了树的零度可由其划分为恒可解子树的最小划分的基数来刻画。我们还证明了树的零度小于其偶度顶点的个数。
引用
@article{arxiv.2008.08541,
title = {A characterization of always solvable trees in the Lights Out game using the activation types of vertices},
author = {Ahmet Batal},
journal= {arXiv preprint arXiv:2008.08541},
year = {2024}
}