边添加或删除对图零度的影响

Lights Out 是可在任意图 $G$ 上进行的游戏。初始我们有一个给每个顶点赋予开或关两种状态之一的构型。游戏目标是通过激活若干顶点，将初始构型下所有顶点变为关状态，其中每次激活会切换该顶点及其所有邻点的状态。若对所有初始构型皆可达此目标，则称 $G$ 为恒可解。我们称图在域 $\mathbb{Z}_2$ 上闭邻域矩阵核的维数为图的零度。事实表明，$G$ 恒可解当且仅当其零度为零。此外，给定构型的解的个数也由零度决定。我们研究当图中添加或删除一条边时零度如何变化的问题。作为结果，我们证明对每个正零度图，存在一条删除后零度减小的边。反之，我们证明对每个非奇阶偶图的恒可解图，存在一条添加后零度增加的边。我们还证明，若恒可解图非偶图，则存在一条删除后零度增加的边。