熄灯游戏中的最多点击数问题

考虑一个在简单图 $G = (V, E)$ 上进行的游戏，其中每个顶点由一盏可点击的灯组成。点击任意顶点 $v$ 会切换 $v$ 及其邻居的开/关状态。从灯的初始配置出发，玩家通过找到一个解（即一个关闭所有灯的点击序列）来获胜。当 $G$ 为 $5 \times 5$ 网格时，该游戏由 Tiger Electronics 作为 Lights Out 商业发售。限定于可解的初始配置，我们提出关于该游戏的一个自然问题——最多点击数问题（Most Clicks Problem, MCP）：在 $G$ 上，一个最坏情况初始配置求解需要多少次点击？对于零零度图（即其上每个初始配置均可解者），MCP 的答案已知。我们推广 Scherphius 的一种技术，给出所有尺寸为 $(6k - 1) \times (6k - 1)$ 的网格上 MCP 的一个上界。我们证明该上界所给值恰好解决了此尺寸下所有零度为 2 的网格的 MCP。我们猜想所有零度为 2 的网格尺寸均为 $(6k - 1) \times (6k - 1)$，这意味着我们解决了所有零度为 2 的正方形网格的 MCP。